参考となる公式集


「数学公式集」なる書物は何種類も出版されていますが、自分の関心に合わない公式は、見ても少しも面白くないし、理解したいという気も起きません。ところが、関心のある分野に関する公式は、それを見るだけで刺激を受け、数学をやりたくなります。ここに載せる公式は、私にとって有益であり、お世話になったもので、他の人にとってはたいして面白くないかもしれませんが、自分の思い出のために載せておきます。

e=2.718281828... pi=3.141592654... とします。

円周率 (the circular constant) の公式

これについては別ページに移行しました。


根と係数の関係
ax+b=0 だと、x=-b/a
ax^2+bx+c=0 だと、根をx1,x2とすると、x1+x2=-b/a、x1x2=c/aとなる。
ax^3+bx^2+cx+d=0 の時、根をx1,x2,x3とすると、x1+x2+x3=-b/a、x1x2+x1x3+x2x3=c/a、x1x2x3=-d/aとなる。
以下、4次、5次でも同じ構造になるはずです。

4次の場合、x1+x2+x3+x4=-b/a、x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=c/a、x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=-d/a、x1x2x3x4=e/a となります。


複素数の場合はどうでしょうか?係数はすべて実数として、ax^2+bx+c=0 と考えると上記の場合とまったく同じになります。いやむしろ、上記の式は複素数でないと成り立たないことは当然とも言えることです。複素数解を前提にしないと解の数が変動するからです。
参考までに、複素数として見たときの根と係数の関係を整理しておきます。
s=f+g*i (f,gは実数) とし、根をs1,s2,s3... とすると、二次式だと-b/a=s1+s1 なので、-b/a=f1+f2+i(g1+g2), c/a=f1f2-gig2+i*(f1g2+g1f2) となります。
3次では、-b/a=f1+f2+f3+i(g1+g2+g3), c/a=f1f2+f1f3+f2f3-g1g2-g1g3-g2g3+i(f1g2+f1g3+f2g3+g1f2+g1f3+g2f3), -d/a=f1f2f3-g1g2f3-f1g2g3-g1f2g3+i(f1g2f3+g1f2f3+f1f2g3-g1g2g3) となります。

4次以降は複雑になるので言葉で説明します。-b/aの式はf1,g1とも単純な形で並んでいるので、4次以降どうなるかはすぐに判ります。c/aの式は、fとgの中から、同じ番号が重複しないようにふたつ選び出してならべ、gの数が1,3,5...のときは虚数、0,2,4... のときは実数とします。また、gの数が2,6,10,14...、もしくは3,7,11,15...のときはマイナス、それ以外はプラスとします。
-d/aの場合は、f,gの中から、番号が重複しないように3つ選び出してならべ、gの数によって虚数か実数かを判定し、プラスとマイナスを決めます。
e/aも同じ要領で並べて、実数・虚数、プラス・マイナスを決めます。




1/2-1/3!+1/4!-1/5!+1/6! . . . . =0.3678794=1/e

n^(1/n)=1+log(n)/log(e)/n+1/2*(log(n)/log(e)/n)^2+1/6*(log(n)/log(e)/n)^3 . . . .
P=log(n)/log(e)/nとして、書き直すと、
n^(1/n)=1+P+p^2/2+P^3/3!+P^4/4!+P^5/5! . . . . となる。


e^x=1+x/1+x^2/2!+x^3/3! ....
1/e^x=1-x/1+x^2/2!-x^3/3!+x^4/4!-x^5/5!....
e^(1/x)=1+1/n+1/2/n^2+1/3!/n^3+1/4!/n^4+......


Σ(n-1)=1/2*n(n-1)
Σ(n-1)(n-2)=1/3*n(n-1)(n-2)
Σ(n-1)(n-2)(n-3)=1/4*n(n-1)(n-2)(n-3)
Σ(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=1/5*n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
以下略


P=10log(n)/log(e)/nとすると、
(10/n)^(1-1/2/n^2+1/3/n^3-1/4/n^4+1/5/n^5-......)

(-1)!=(-1/e)^(-1)(-2pi)^(0.5)(1-1/12+1/288+.....)となるので、ここから(-1)^(-1)を計算できるかもしれない。

Σ(n^n)=n^n*(1+a/n+b/n^2+c/n^3+...)と置いたときのa,b,c...の値については、No15.61、No.16.3 参照のこと。

(n-1)^(n-1)=1/e*n^(n-1)+1/2/e*n^(n-2)+7/24/e*n^(n-3)+3/16/e*n^(n-4)......  No.15.71

log(n+r)=log(n)+log(e)*(r/n-1/2*(r/n)^2+1/3*(r/n)^3-....)
log(n-r)=log(n)-log(e)*(r/n+1/2*(r/n)^2+1/3*(r/n)^3...)

n>1.818181... のとき p=(10-n)/10 とすると、log(n) = 1-log(e) * { p + p^2/2 + p^3/3 + p^4/4 + ..... }  No.22.18
n<1.818181... のとき p=n-1 とすると、log(n) = log(e) * { p - p^2/2 + p^3/3 - p^4/4 + ..... } 
p=n/log(e) とすると、10^n = 1 + p + p^2/2 + p^3/6 + p^4/24 + p^5/120 + .....

おそらく、Σ(n-1)!su(n) = 1/2+1/12-1/120+1/252-1/240+....... = 0.577215664 (オイラー定数)
1-1/2+1/12-1/120+1/252-1/240..... = 0.577215664...

(1+1/n)^n=e^(1-1/2n+1/3n^2-1/4n^3+1/5n^4-....) という式も面白いのではないでしょうか。


(n-1)^(n-1)=n^(n-1)*e^{-1+1/2n+1/6n^2+1/12n^3+1/20n^4.....}
(n+1)^(n+1)=n^(n+1)*e^{1+1/2n-1/6n^2+1/12n^3-1/20n^4....}

項数がr*(r+1)の次に(r+1)(r+2)と規則的になっていることに注目すること。この公式は結構綺麗ではないですか。

√(1+1/n)=e^{1/2/n-1/4/n^2+1/6/n^3-1/8/n^4+.....}

n>1 とすると、
1/(n+1)=1/n-1/n^2+1/n^3-1/n^4+.....
1/(n+1)^2=1/n^2-2/n^3+3/n^4-4/n^5....
1/(n+1)^3=1/n^3-3/n^4+6/n^5-10/n^6.....
1/(n+1)^4=1/n^4-c(4,1)/n^5+c(5,2)/n^6-c(6,3)/n^7...
つまり、1/(n+1)^r=c(r-1,0)/n^r-c(r,1)/n^(r+1)+c(r+1,2)/n^(r+2)-c(r+2,3)/n~(r+3)+.....

1/(n+1)=1/n-1/n^2+1/n^3-1/n^4+....
1/(n+2)=1/n-2/n^2+4/n^3-8/n^4+....
1/(n+3)=1/n-3/n^2+9/n^3-27/n^4+....
以下略

1/(f(n)+1)=1/f(n)-1/f(n)^2+1/f(n)^3-1/f(n)^4+.....
1/(f(n)+2)=1/f(n)-2/f(n)^2+4/f(n)^3-8/f(n)^4+.....
1/(f(n)+3)=1/f(n)-3/f(n)^2+9/f(n)^3-27/f(n)^4+.......
以下略


テイラー展開

e^x= 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+. . . .
e^(1/x)=1+1/x+1/2x^2+1/3!x^3+1/4!x^4+ . . . .
(1/e)^x=1-x+x^2/2!-x^3/3!+x^4/4!.....
(1/e)^(1/x)=1-1/x+1/2x^2-1/3!x^3+1/4!x^4...
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!....
cos(x)=1-x^2/2+x^4/4!-x^6/6!...
tan(x)=x+x^3/3+2/15*x^5+137/2520*x^7.....
arctan(x)=pi/2-1/x+1/3x^3-1/5x^5+1/7x^7....
arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7...でもある。x<1のとき。
arctan(1+1/x)=pi/4+1/2x-1/4x^2+1/12x^3-1/40x^5....
arcsin(x)=x+x^3/6-x^5/120+x^7/5040-x^9/9!+x^11/11!-........
arccos(x)=1-x^2/2+x^4/24-x^6/720+x^8/8!-.....
xが0の近傍の時、1/sin(x)=1+x/6+7x^3/360+1147x^5/559440+....
xがpi/2の近傍の時、1/sin(x) = 1+(pi/2-x)^2/2-5*(pi/2-x)^4/24+61*(pi/2-x)^6/6!-....

sinh(x)=x+x^3/3!+x^5/5!+x^7/7!+...
cosh(x)=1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!+...
tanh(x)=x-x^3/3+2x^5/15-17x^7/315+... (この式にはB(n)が登場する)
cosech(x)=1/x-x/6+7x^3/360-31x^5/15120+... (この式にはB(n)が登場する)
coth(x)=1/x+x/3-x^3/45+2x^5/945+... (この式にはB(n)が登場する)

ついでに載せておくと、
coth(x)=(e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))
(1/n)^(1/log(n))=0.1 これは恒等式である。!!!
(con(n))^2-cos(n-1)*cos(n+1)=0.7080734183... これも恒等式
これは、0.7080734183...=1-2^3/4!+2^5/6!-2^7/8!+2^9/10!-.... となっています。
1/tan(pi*x/2) = - tan(pi*x/2 + pi/2)




■    微分(differential) の公式


微分については今まで勉強していなかったので、公式を載せようとは思いませんでしたが、やや必要になってきたので、初歩的なところを自分のために載せておきます。

(a*f(x)+b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)
(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
(1/g(x))' = -g'(x)/g(x)^2
(f(x)/g(x))' = { f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) }/g(x)^2

F(x)=f(g(x)) ならば、F'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

あとは、代表的関数の微分を載せておきます。
(x^n)' = n*x^(n-1)
(1/(x+a))' = -1/(x+a)^2
(e^x)' = e^x
(e^(1/x))' = -1/x^2 * e^(1/x)
(e^ax)' = a*e^(ax)
(n^x)' = ln(n)*n^x ,   (1/n^x)' = -ln(n)/n^x
cos(x)' = -sin(x),   sin(x)' = cos(x),   tan(x)' = 1/cos(x)^2
cos(ax)' = -a*sin(ax),   sin(ax)' = a*cos(ax)
(ln(x))' = 1/x, (ln(x^2))' = 2*ln(x)/x, (ln(x^2))' = 3*(ln(x))^2/x
(x^x)' = ln(x)*x^x + x^x
((x/a)^x)' = x^x * ln(x/a) + x^x
(x*ln(x))' = ln(x) + 1
(x*ln(x/a))' = ln(x/a) + 1
(e^f(x))'=f'(x)*e^f(x)



補足
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)



■    積分(integral)の公式


積分なるものには今までまったく関心がありませんでしたが、必要に迫られて公式を学ぶことになりました。

微分の逆ですから簡単と言えば簡単ですが、内実はまだよく判りません。よく使われる∫dxのdxは便宜上省いています。ここでは変数をxとしています。

∫e^x = e^x + C
∫e^ax = (1/a)*e^ax + C
∫(x^a) = x^(a+1)/(a+1) + C
∫(a^x) = a^x/ln(a) + C, ∫(1/a^x) = -1/ln(a)/a^x + C
r=ln(a) とすると、 ∫(x/a^x) = { x^2/2 + r*x^3/6 + r^2*x^4/4! + r^3*x^5/5! + ... } / a^x + C

∫(1/x) = ln |x| + C
∫(2x/(1+x^2) = ln | (1+x^2) | + C
∫(p*(x-1)/((x-1)^2+b^2) = p/2*ln((x-1)^2+b^2) + C

∫sin(x) = -cos(x) + C
∫cos(x) = sin(x) + C
∫sin(ax) = -(1/a)*cos(ax) + C , ∫cos(ax) = (1/a)*sin(ax) + C
∫log(x) = x*ln(x) - x + C
∫tan(x) = -ln | cos(x) | + C

∫(1/a^x/f(x)) = -{ 1/ln(a)/a^x/f(x) + 1/ln(n)^2/a^x/f'(x) + 1/ln(n)^3/a^x/f''(x) + ... }


積分も面白そうですね。(^^)



■    sin, cos 関係の式


cos(x*pi/2)/sin(x*pi) = 1/2sin(x*pi/2)
cos(x*pi/2)/sin(x*pi/2) = 1/tan(x*pi/2)
sin((x-1)*pi)/cos(pi*(x-1)/2) = -2cos(pi*x/2)
2*cos(pi*x/2)*cos(pi*(1-x)/2) = sin(pi*x)
{cos(pi/2*x)}^2/sin(pi*x) = -tan(pi/2*x+pi/2)/2

複素数でも sin(s)^2+cos(s)^2 = 1 が成り立っています。



■    複素数での公式


z=a+i*b とします。

e^z = e^a * (cos(b)+i*sin(b))
ln(z) = ln(√(a^2+b^2) + i*tan(b/a)
sin(z) = sin(a)*cosh(b) + i*cos(a)*sinh(b)
    = sin(a) * (e^b+e^(-b)/2 + i*cos(a) * (e^b-e^(-b)/2
sinh(z) = - i*sin(i*z) = - i*sin(-b+i*a)
cosec(z) = 1/sin(z)
cosech(z) = i*cosec(i*z) = i*cosec(-b+i*a)



■    無理数の例


無理数を記憶するために、√2が「ひとよひとよにひとみごろ」と覚え、√3が「ひとなみにおごれや」、√5が「ふじさんろくおーむなく」と覚えましたが、重要な無理数でも、数が多いので覚えておくのは大変です。記憶には自信がないので、ここにいくつか書き留めておきます。

pi、e などは良いとして、それを加減乗除した数を書いておきます。

ei=log(e)=0.4342944819
ea=1/log(e)=2.302585093

pi/2=1.570796327
pi/4=0.7853981635
(pi/4)^(0.5)=0.8862269255
1/pi=0.3183098862
2/pi=0.6366197724
log(pi)=0.4971498727
ln(pi)=1.144729886
ln(pi)/2=0.572364943
log(2pi)=0.7981798683
log(2pi)*1/2=0.3990899342
ln(2pi)=1.837877066
√pi=1.772453851
√1/pi=0.5641895835
√2pi=2.506628275
√1/2pi=0.3989422803

k(2)=pi^2/6=1.644934067
(-0.5)!=√pi=1.772453851
(0.5)!=√pi/2=0.8862269255
√10=3.16227766
1/√2=0.7071067812
1/2√2=0.3535533906
e/√2pi=1.084437551
1/√2pi=0.3989422803
ln(e/√2pi)=0.0806146641
log(e)/log2=1.442695041
2log(e)=0.8685889638
1/2log(e)=1.151292547
1/e=0.3678794412
pi/ln(2)=4.532360142
2*pi/ln(2)=9.064720282
2*pi/ln(3)=5.719201735
pi*ei=1.364376354
(2pi)/ln(2pi)=3.418719033
2pi*e=17.07946845
e^pi=23.14069263
e^(-pi)=0.043213918
ln(2*pi*e)=2.837877066
1-1/pi=0.6816901138



eu=0.577215664
1-eu=0.422784336
e^(-eu)=0.5614594841
1/eu=1.732454717


1-1/2+/1/3-1/4+1/5-1/6... = ln(2) = 0.6931471806
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+.... = pi/4 = 0.7853981634
1-1/5+1/9-1/13+1/17-1/21+... = 0.86697323


その他、研究途上に現れた無理数
0.39901297826 No.24.58参照
0.5849652500721 No.24.26
0.293995518793 No.24.18
1.1303307007539 No.27.85




<履歴>

2010/05/12   1/√2pi、2pi*e を追加。
2010/09/01   sin,cos関係の式を追加





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