ATN座標




ATN座標とは、XY座標の変形です。

XY座標の場合には、X軸とY軸があり、それらが直角に交わることにより、平面上の点を(x,y)で表すことが出来ます。関数も、軌跡を考えることでXY座標上でその形を描くことができます。ATN座標も、基本的にXY座標と同じです。

ATN座標の場合は、軸の単位の取り方が、1,2,3、ではなく、atn(n)を基準にします。つまり、XY座標での(x,y)は(atn(x),atn(y))となります。pa (pa=pi/2=1.570796327) と定義すると、(pa,0) がX軸上の無限大を示し、(0,pa) はY軸上の無限大です。y=0.5*x^2のグラフ



たとえば、0.5*x^2=y のグラフを描いてみましょう。XY座標であれば、いわゆる放物線になりますが、ATN座標では、右図のようになります。XY座標とATN座標は完全に一対一対応しているので、実質的に同じであり、数学的に新しいものを付け加えることはありません。しかし、無限を視覚的に捉えやすくしてくれるので、Σn^r や、n! を考えるときに大変便利です。

直感的には、このATN座標はもっと有意義な用いられ方があると思うのですが、その点については、今後研究してゆくつもりです。当面、今まで登場した方程式や級数の形を確認して、その図形と同型の関数を求めたり、逆関数を求めたりして、ATN座標の有用性を確認してみようと思います。


まず、ゼータ関数のATN座標での軌跡を書いてみました。ゼータ関数のグラフ

Σ1/n^r=1+1/2^r+1/3^r+1/4^r+1/5^r+.......
ですから、だいたいのところを計算すると次のような数値になっています。

k(1.01)=144.769
k(1.1)=14.932
k(1.5)=3.414
k(2)=1.644
k(5)=1.0369
k(10)=1.000994

これをXY座標で表すこともできますが、比べてみると、ATN座標のほうが見やすいことがよく判ります。


  


ゼータ関数の逆関数を求めてみました。これについては別ページで説明します。



1/f(x)を求めてみる

f(x)=Σ1/n^r  (r>1) としたとき、g(x)=1/f(x) なる式があるはずです。これを求めてみましょう。
(詳細説明)




1/f(x)を移動させてみる

元の関数 f(x)=Σ1/n^r  (r>1) として、下図のような新しいf(x)を作り、その式を求めてみると、項数に面白い法則があることを発見しました。
(詳細説明)




f(x)を移動させてみます

f(x)=Σ1/n^r  (r>1) として、これをATN座標の0と1の間に置いてみます。ATN座標で見ると、形はΣ1/n^rとまったく同じですが、XY座標ではまったく違った形に見えます。この式の項数は大変面白い変化をします。法則があると思うのですが、かなり膨大な計算をしても、確たることは言えません。おそらくあるだろうというのがいまのところの結論です。
(詳細説明)











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